网络运行中心监控和管理网络设备的方法主要包括以下几个方面：
监控工具：网络运行中心需要利用专业的网络监控工具来实时监测网络设备的运行状态、带宽利用率、流量情况等。常用的监控工具有SolarWinds、Nagios、Zabbix等。这些工具可以帮助管理者及时发现网络异常，快速定位问题。
配置管理：网络运行中心需要建立网络设备的配置数据库，记录每个设备的配置信息和变更历史，确保网络设备的配置符合公司的标准，避免配置错误导致的问题。采用自动化配置管理工具可以提高效率，减少人为失误。
远程管理：网络运行中心应当配置远程管理工具，可以通过远程登录的方式对网络设备进行管理和维护，即使不在现场也能及时处理问题，提高效率。
报警机制：建立网络设备的报警机制，设置合理的阈值，当网络设备出现异常时能够及时发送警报通知管理者，以便及时处理。
资产管理：建立网络设备的资产管理清单，包括设备型号、序列号、所在位置等信息，方便对网络设备进行统一管理和维护。
案例分析：某公司的网络运行中心利用SolarWinds监控工具实时监控网络设备，当某台核心交换机的CPU利用率异常升高时，系统自动发送报警邮件给管理员。管理员远程登录交换机，查看日志发现是某个端口流量异常，及时进行调整，避免了网络故障的发生。